速度时间公式

$$\upsilon = \upsilon_{0}+at$$

位移-时间公式

$$x=\upsilon_{0}t+\frac{1}{2}at^{2}$$

速度-位移公式

$$\upsilon^{2}-\upsilon_{0}^{2}=2ax$$

其中$a$为加速度，$\upsilon_{0}$为初速度, $\upsilon$为末速度,$t$为该过程所用时间，$x$为该过程中的位移。

位移变化量-时间公式

$$\Delta x = a T^{2}$$ $\Delta x$代表相邻相等时间段内位移差，$T$代表相邻相等时间段的时间长度。

物体作匀变速直线运动须同时符合下述两条

（1）所受合外力不为零，且保持不变； （2）合外力与初速度在同一直线上。

分类

在匀变速直线运动中，如果物体的速度随着时间均匀增加，这个运动叫做匀加速直线运动；如果物体的速度随着时间均匀减小，这个运动叫做匀减速直线运动。 若速度方向与加速度方向相同（即同号），则是加速运动；若速度方向与加速度方向相反（即异号），则是减速运动。

1

由于匀变速直线运动的速度是均匀变化的，故$$平均速度=(初速度+末速度)/2=中间时刻的瞬时速度$$而匀变速直线运动的位移=平均速度×时间，故$$x=\frac{\upsilon_{0}+\upsilon}{2}t$$利用位移公式$x=\upsilon_{0}t+\frac{1}{2}at^{2}$和平均速度公式$\overline{\upsilon}=\frac{x}{t},$得平均速度为$$\overline{\upsilon}=\upsilon_{0}+\frac{1}{2}at=\upsilon_{0}+a(\frac{1}{2}t)=\frac{2\upsilon_{0}+at}{2}=\frac{\upsilon_{0}+\upsilon}{2}$$

2

利用微积分的基本定义可知，速度函数（关于时间）是位移函数的导数，而加速度函数是关于速度函数的导数，写成式子就是$$\frac{dx}{dt}=\upsilon , \frac{d\upsilon}{dt}=a,$$于是$\upsilon = \int a dt = at +\upsilon_{0},$ $\upsilon_{0}$就是初速度，可以是任意常数。进而有，$$x=\int \upsilon dt = \int (at+\upsilon_{0})dt=\frac{1}{2}at^{2}+\upsilon_{0}t+C$$于匀变速至直线运动，显然$t=0$时，$x=0$故这个任意常数$C=0$,于是有$$x=\upsilon_{0} \cdot t + \frac{1}{2}at^{2}$$这就是位移公式。

3

$$\Delta x = a T^{2}$$ $\Delta x$代表相邻相等时间段内位移差，$T$代表相邻相等时间段的时间长度。 前一秒位移:$$x_{1}=\frac{1}{a}at^{2}$$ 前两秒位移：$$x_{2}=\frac{1}{2}a(2T)^{2}$$可计算出，前两秒位移之差为$\Delta x = a T^{2}$.此为从初速度为零的运动的推导，初速度不为零也可得到相同结论。

4

$$2ax=\upsilon_{2}^{2}-\upsilon_{1}^{2}$$联立位移公式$x=\upsilon_{1}t+\frac{1}{2}at^{2}$和速度公式$\upsilon_{2}=\upsilon_{1}+at$即可证明之。

1、中间位移的速度 $\upsilon_{\frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{\upsilon_{1}^{2}+\upsilon_{2}^{2}}{2}}$

证明：由位移公式$2ax=\upsilon_{2}^{2}-\upsilon_{1}^{2}$, 用$\frac{x}{2}$换$x$可得到$$2a\frac{x}{2}=\upsilon_{\frac{x}{2}}^{2}-\upsilon_{1}^{2},$$得到$\frac{2ax}{2}+\upsilon_{1}^{2}=\upsilon_{\frac{x}{2}}^{2},$再把$2ax=\upsilon_{2}^{2}-\upsilon_{1}^{2}$代入到上式，可得$$\frac{\upsilon_{2}^{2}-\upsilon_{1}^{2}}{2}+\upsilon_{1}^{2}=\upsilon_{\frac{x}{2}}^{2}$$整理开平方后，即得$$\upsilon_{\frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{\upsilon_{1}^{2}+\upsilon_{2}^{2}}{2}}$$

2、中间时刻得速度$\upsilon_{\frac{t}{2}}=\frac{x}{t}=\frac{\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}{2}$

证明：$\upsilon_{2}=\upsilon_{1}+at$记为"1"式。$\upsilon_{\frac{t}{2}}=\upsilon_{1}+a\frac{t}{2}$记为"2"式。"1"式+$\frac{1}{2}$ "2"式，整理可得$$\upsilon_{\frac{t}{2}}=\frac{\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}{2}$$把$x=\upsilon_{1}t+\frac{1}{2}at^{2}$代入$\upsilon_{\frac{t}{2}}=\frac{x}{t}$中，得到$$\upsilon_{\frac{t}{2}}=\frac{\upsilon_{1}t+\frac{1}{2}at^{2}}{t}=\upsilon_{1}+a\frac{1}{2}t=\upsilon_{\frac{t}{2}}$$

基本比例（当初速度为0的匀加速运动）

1、第1秒末、第2秒末、……、第n秒末的速度之比 $$\upsilon_{1}:\upsilon_{2}:\upsilon_{3}: \cdots = 1: 2:3 : \cdots : n$$ 推导$$at_{1}:at_{2}:at_{3}: \cdots : at_{n}$$

2、前1秒内、前2秒内、……、前n秒内的位移之比 $$s_{1}:s_{2}:s_{3}: \cdots s_{n}=1:4:9: \cdots : n^{2}$$推导$$\frac{1}{2}at_{1}^{2}:\frac{1}{2}at^{2}_{2}:\frac{1}{2}at_{3}^{2}: \cdots : \frac{1}{2}at^{2}_{n}$$

3、第1个t内、第2个t内、……、第n个t内（相同时间内）的位移之比 $$x_{1}:x_{2}:x_{3}:\dots : x_{n} = 1: 3 :5 : \cdots : (2n-1)$$推导$$\frac{1}{2}at^{2}:\frac{1}{2}a(2t)^{2}-\frac{1}{2}at^{2}:\frac{1}{2}a(3t)^{2}-\frac{1}{2}a(2t)^{2}: \cdots : \frac{1}{2}a(nt)^{2}-\frac{1}{2}a[(n-1)t]^{2}$$

4、通过前1x、前2x、前3x……、前nx的位移所需时间之比 $$t_{1}:t_{2}:t_{3}: \cdots : t_{n}=1:\sqrt{2}:\sqrt{3}: \cdots : \sqrt{n}$$推导：$$t=\frac{2x}{a}$$当位移等比例增大时，根号内的比值也等比例增大。

5、通过第1个s、第2个s、第3个s、……、第n个s（通过连续相等的位移）所需时间之比 $$t_{1}:t_{2}:t_{3}:\cdots : t_{n}=1:(\sqrt{2}-1):(\sqrt{3}-\sqrt{2}): \cdots : (\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$$推导：$$t_{1}=\sqrt{\frac{2x}{a}};t_{2}=\sqrt{\frac{2 \times 2x }{a}}-\sqrt{\frac{2x}{a}}; t_{3}=\sqrt{\frac{2\times 3x}{a}}-\sqrt{\frac{2\times 2x}{a}}; \cdots $$

概念

物体只在重力的作用下从静止开始下落的运动。

1、运动学特点：其大小、方向均不变。 2、受力特点：在真空中物体只受重力，或者在空气中，物体所受空气阻力很小，和物体重力相比可忽略。 3、运动性质：自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动。所以匀变速直线运动的所有规律和初速度为零的匀加速直线运动中的各种比例关系都可用于自由落体运动。 4、自由落体的加速度：在同一地点，一切物体在自由落体运动中的加速度都相同，这个加速度叫重力加速度，用g表示，地球上不同的纬度，g值不同。其方向为竖直向下。通常计算时取9.8$m/s^{2}$粗略计算时，取10$m/s^{2}$。

规律

自由落体运动是初速度为零，加速度为g的匀加速直线运动，其运动规律如下： 1、三个基本公式：$$\upsilon_{t}=gt ;$$ $$x=\frac{1}{2}gt^{2};$$ $$\upsilon_{t}^{2}=2gx;$$

2、三个特殊公式： 1）在连续相等的时间（T）内位移之差为一恒定值，即$$\Delta x = gT^{2}.$$ 2）某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，即$$\upsilon_{\frac{t}{2}}=\overline{\upsilon}=\frac{\upsilon_{0}+\upsilon_{t}}{2}$$ 3）某段位移中间位置的瞬时速度$\upsilon_{\frac{s}{2}}$与这段位移的初、末速度$\upsilon_{0}$和$\upsilon_{t}$的关系是$$\upsilon_{\frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{\upsilon_{0}^{2}+\upsilon_{t}^{2}}{2}}$$

物体具有竖直向上的初速度，加速度始终为重力加速度g的匀变速运动，可分为上抛时的匀减速运动和下落时的自由落体运动的两过程。它是初速度为$\upsilon_{0}$($\upsilon_{0}$不等于0）的匀减速直线运动与自由落体运动的合运动，运动过程中上升和下落两过程所用的时间相等，只受重力作用且受力方向与初速度方向相反。

计算公式

以$\upsilon_{0}$方向为正方向： 1$$\upsilon = \upsilon_{0}-gt$$ 2$$x=\upsilon_{0}t-\frac{1}{2}gt^{2}$$ 3$$H=\frac{\upsilon_{0}^{2}}{2g}$$ 4$$\upsilon_{t}^{2}-\upsilon_{0}^{2}=-2gH$$ 5竖直上抛物体达到最大高度所需时间$t_{m}$，可由速度公式和条件$\upsilon = 0$得到，即$$t_{m}=\frac{\upsilon_{t}}{g}$$

注意

注：也可以根据上升过程是$a=-g$，$\upsilon_{0} \neq 0$的匀变速直线运动，下落阶段是自由落体运动来分析。