单项式与多项式统称整式。即整式分为单项式和多项式。
判断一个式子是否是整式，实质上是判断这个式子是否是单项式或多项式，或者看这个式子的分母是否含有字母，分母含有字母的式子不是整式。
用含字母的式子表示数
用字母或含有字母的式子表示数和数量关系时，字母可以任意选择，可以使用$x$，也可以使用$m$等。
书写含有字母的式子时注意事项
数字与字母、字母与字母相乘时，乘号通常省略不写或写成“$\cdot$”，且数字要写在字母的前面，如$$3 \times a$$可以写成$$3\cdot a 或3a,$$但数字与数字相乘时仍用“$\times$”。
数字因数是1或-1时，“1”省略不写，如$$1\times ab$$写成$$ab,-1 \times ab写成-ab.$$
若数字因数是带分数，要化成假分数，如$$3 \dfrac{1}{2} x$$要写成$$\dfrac{7}{2}x.$$
式子中出现除法时，写成分数的形式，如$$2a \div 3$$要写成$$\dfrac{2a}{3}.$$
单项式的定义
式子$100t$，$0.5p$，$mn$，$a^2 h$,$-n$，它们都是数或者字母的积，像这样的式子叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的系数
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数
例如：单项式$100t$，$a^2h$，$-n$的系数分别是$100$,$1$,$-1$。
$\pi$是无限不循环小数，应看作系数的一部分。
单项式的次数
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。例如：
在单项式$100t$中，字母$t$的指数是1，$100t$的次数是1；
在单项式$a^2h$中，字母$a$与$h$的指数的和是3，$a^2h$的次数是3。
单项式中不含加减运算，只含乘法和数字作分母的除法运算，分母中有字母的不是单项式。
单项式的系数应包括它前面的符号，当系数是1或-1时，“1”通常不写；系数是带分数时，通常写成假分数，如$1 \dfrac{1}{4} x^2y$写成$\dfrac{5}{4} x^2y$。
字母的指数是1时，指数省略不写，如$y$的指数是1而不是0。
多项式的定义
几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
例如：多项式$v-2.5$的项是$v$与$-2.5$，其中$-2.5$是常数项。
多项式的次数
多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
例如：多项式$$x^2+3x+15$$中次数最高项是二次项$x^2$，这个多项式的次数是2。
多项式的每一项都包括它前面的符号。
多项式的项数是指多项式中所包含的单项式的个数。
多项式的次数不是所有的项的次数和，而是其中各单项式的最高次数决定整个多项式的次数。
多项式中次数最高的项不一定只有一项，有可能有多项，甚至是每一项的次数都一样，都是最高次项。如：$$x^2+y^2-2xy$$中，每一项都是二次项，这个多项式是二次多项式。
整体代入求多项式的值
求多项式的值，一般就是将字母的值代入，然后求出多项式的值。
若是已知一个多项式的值去求另一个多项式的值，一般是将该多项式看作一个整体。采用“整体代入”的方法，即对所求多项式进行适当变形后，再将已知条件整体代入求值。
同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。如：$$\begin{aligned}0.5a^2bc^2与-0.5a^2bc^2&是同类项,\\-1和\dfrac{1}{3}&是同类项.\end{aligned}$$
同类项与单项式的系数无关，与字母顺序无关，几个常数项也是同类项。如$$-x^2y^3$$$$与$$$$3y^3x^2,$$虽然$x^2$与$y^3$的先后顺序不同，但是它们是同类项。
同类项不一定是两项，也可以是三项，四项$\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot$但至少两项。
合并同类项
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
合并同类项法则
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。
合并同类项$2x^2y$和$3x^2y$为$$\begin{aligned}2x^2y+3x^2y&=(2+3)x^2y\\ &=5x^2y.\end{aligned}$$
合并同类项的一般步骤
一、准确找出同类项（初学者可先用不同标号标出同类项）；
二、利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；
三、写出合并后的结果，注意不要漏项。
合并同类项时，注意合并的只是系数，字母部分不变，不要漏掉。
合并同类项时，注意各项系数的符号，尤其系数为负数时，不要遗漏负号，同时不要丢项。
如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项的结果为0。
去括号法则
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
去括号时，要将括号连同它前面的符号一起去掉。
在去括号时，首先明确括号前是“$+$”还是“$-$”。
该变号时，括号内各项都变号；不该变号时，括号内各项都不变号。
加减法则
单项式加减即合并同类项，也就是合并前各同类项系数的和，字母不变。
例如：$3a+4a=7a,9a-2a=7a$ , 等。
同时还要运用到去括号法则和添括号法则。
整式的加减的最后结果要求：
一、不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止。
二、一般按照某一字母的降幂或升幂排列
三、不能出现带分数，带分数要化成假分数。
单项式与单项式相乘的法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
积的系数等于各系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值。
单项式乘单项式的运算法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。
单项式与单项式相乘的运算步骤：
一、把它们的系数相乘，包括符号的计算；
二、把同底数幂分别相乘；
三、把只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式；
四、将以上三部分的乘积作为计算的结果。
单项式与多项式相乘的法则
单项式与多项式相乘 ，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即$$\begin{aligned}p(a+b+c)=pa+pb+pc.\end{aligned}$$
计算时易出现符号错误，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。
多项式与多项式相乘的法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即
$$\begin{aligned}(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。\end{aligned}$$
要用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，不能有遗漏。
多项式的每一项都包括其前面的符号，并作为项的一部分参与运算。
同底数幂的乘法
$$\begin{aligned}a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}(m,n都是正整数),\end{aligned}$$即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用。即$$a^{m}\cdot a^{n}\cdot\cdotp\cdotp\cdotp\cdot a^{p}=a^{m+n+\cdot\cdot\cdot+p}$$其中$m,n, \cdot\cdot\cdot,p$都是正整数。
不要忽视指数为1的因数，注意$a=a^{1}$。
注意法则的逆用，即$$a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}$$其中$m,n$都是正整数。
幂的乘方
$$\begin{aligned}(a^{m})^{n}=a^{mn}(m,n都是正整数)。\end{aligned}$$即幂的乘方，底数不变，指数相乘。
$$ [(a^{m})^{n}]^{p}=a^{mnp}(m,n,p都是正整数)。$$
$$ [(a+b)^{m}]^{n}=(a+b)^{mn}(m,n都是正整数)。$$
注意法则的逆用：$$a^{mn}=(a^{m})^{n}=(a^{n})^{m}(m,n都是正整数)。$$
整式的除法
一、单项式除以单项式法则：
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
运算中单项式的系数包括它前面的符号。
不要遗漏只在被除式里含有的字母。
单项式除以单项式的结果仍是单项式。
单独一个字母的指数为1不为0。
二、多项式除以单项式法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
完全平方公式
$$(a \pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$$
三数和平方公式
$$( a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc，$$
平方差公式
$$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2},$$
立方和公式
$$(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3},$$
立方差公式
$$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3},$$
完全立方公式
$$(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3},$$
欧拉公式
$$(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc,$$
二项式定理
$$(x+a)^{n}=\overset{n}{\sum\limits_{k=0}}\binom{n}{k}x^{k}a^{n-k},$$
和的展开式
$$(1+x)^{n}=1+\dfrac{nx}{1!}+\dfrac{n(n-1)x^{2}}{2!}+\cdots$$
性质一
$$a^{m}\div a^{n}=a^{m-n},$$其中$m,n$都是正整数,并且$m > n,$即同底数幂相除，底数不变，指数相减。
当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，例如：$$a^{m}\div a^{n}\div a^{p}=a^{m-n-p},$$其中$a\neq0$,$m$,$n$,$p$都是正整数，且$m>n+p$。
性质二
$$\begin{aligned}a^{0}=1(a\neq0),\end{aligned}$$即任何不等于0的数的0次幂都等于1.
注意$a^{0}=1$成立的条件是$a\neq0$。若$a=0$，式子无意义。
