分类加法计数原理
完成一件事有$n$类不同方案，在第$1$类方案中有$m$种不同的方法，在第$2$类方案中有$n$种不同的方法。那么完成这件事共有$N=m+n$种不同的方法。
推广：完成一件事有$n$种不同方案，在第$1$类方案中有$m_{1}$种不同的方法，在第$2$类方案中有$m_{2}$种不同的方法$\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot$在第$n$类方案中有$m_{n}$种不同的方法。那么完成这件事共有$$N=m_{1}+m_{2}+\cdot\cdot\cdot+m_{n}$$种不同的方法。
分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第$1$步有$m$种不同的方法，做第$2$步有$n$种不同的方法，那么完成这件事共有$$N=m\times n$$种不同的方法。
完成一件事需要$n$个步骤，做第$1$步有$m_{1}$种不同的方法，做第$2$步有$m_{2}$种不同的方法$\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot$做第$n$步有$m_{n}$种不同的方法。那么完成这件事共有$$N=m_{1}\times m_{2}\times\cdot\cdot\cdot\times m_{n}$$种不同的方法。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别
联系：分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题。
区别：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相对独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事。
排列
一般地，从$n$个不同元素中取出$m(m \leq n)$个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从$n$个不同元素中取出$m$个元素的一个排列。
排列的定义包括两个方面：一、取出元素；二、按一定的顺序排列
两个排列相同的条件：一、元素完全相同；二、元素的排列顺序也相同。
排列数
从$n$个不同元素中抽取$m(m \leq n)$个元素的所有不同排列的个数叫作从$n$个不同元素中取出$m$个元素的排列数，用符号$$A_{n}^{m}$$表示。
排列数公式
$$\begin{aligned}A_{n}^{m}&=n(n-1)(n-2)\cdot\cdot\cdot(n-m+1) \\ &=\frac{n!}{(n-m)!},\end{aligned}$$这里$n,m\in N^{*}$并且$m \leq n$。这个公式叫作排列公式
公式特征：第一个因数是$n$，后面每一个因数比它前面一个少$1$，最后一个因数是$n-m+1$，共有$m$个因数。
解含排列数的方程和不等式时要注意排列数$A_{n}^{m}$中，$$m,n\in N^{*}且m \leq n$$这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围。
公式$$\begin{aligned}A_{n}^{m}&=n(n-1)(n-2)\cdot\cdot\cdot(n-m+1) \\ &=\frac{n!}{(n-m)!}.\end{aligned}$$常用来求值，公式求值$$A_{n}^{m}=\frac{n!}{(n-m)!}.$$常用来证明或化简。
全排列和阶乘
全排列；$n$个不同元素全部取出的一个排列，叫作$n$个元素的一个全排列，这时在排列数列公式中$m=n$，既有$$\begin{aligned}A_{n}^{n}=n&\times(n-1) \\ &\times(n-2) \\ &\times\cdot\cdot\cdot \\ &\times 3 \\ &\times 2 \\&\times 1.\end{aligned}$$
阶乘：正整数$1$到$n$的连乘积叫作$n$的阶乘，用$n!$表示。全排数列公式$$A_{n}^{n}=n!,$$规定$$0!=1.$$
组合
一般地，从$n$个不同的元素中任取$m(m\leq n)$个元素合成一组，叫作从$n$个不同元素中取出$m$个元素的一个组合。
组合的定义包括两个方面：一、不同元素；二、“只取不排”$—$无序性。
两个组合相同，只要两个组合的元素相同。不论元素的顺序如何，都是相同的组合。
排列与组合的联系与区别
联系：都是从$n$个不同的元素中抽取$m(m\leq n)$个元素。
区别：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关。
组合数公式
从$n$个不同的元素中任取$m(m\leq n)$个元素所有不同组合的个数，叫作从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数，用符号$$C_{n}^{m}$$表示。
组合数公式：$$\begin{aligned}C_{n}^{m}&=\frac{A_{n}^{m}}{A_{m}^{m}}\\&=\frac{n(n-1)\cdot\cdot\cdot(n-m+1)}{m!}\\&=\frac{n!}{m!(n-m)!}.\end{aligned}$$这里$n,m\in N^{*},$并且$m\leq n.$这个公式叫作组合数公式。
规定：$$C_{n}^{0}=1.$$
组合数的性质
一、$$C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}.$$这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从$n$个不同的元素中抽取$$m(m \leq n,n,m\in N^{*})$$个元素后，就剩下$(n-m)$个元素，因而从$n$个不同元素中取出$m$个元素与从$n$个不同元素中取$(n-m)$个元素是一一对应的，因此是一样多的。利用这个性质。当$m > \frac{n}{2}$时，可以不直接计算$C_{n}^{m}$，而是改为计算$C^{n-m}_{n}$，这样可以简化运算。
二、$$C^{m}_{n+1}=C^{m}_{n}+C^{m-1}_{n}$$这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从$(n+1)$个不同元素中取$$m(m\leq n,n,m\in N^{*})$$个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的$n$个元素再取$(m-1)$个元素，有$C^{m-1}_{n}$种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的$n$个元素中取出$m$个元素，有有$C^{m}_{n}$种取法。
由分类加法计数原理，可得：$$C^{m}_{n+1}=C^{m}_{n}+C^{m-1}_{n}.$$
排列、组合的一些常用公式
$$A_{n}^{m}=\frac{n}{n-m}A_{n-1}^{m},$$
$$A_{n}^{m}=(n-m+1)A_{n}^{m-1},$$
$$A_{n}^{m}=nA_{n-1}^{m-1},$$
$$C_{n}^{m}=\frac{n}{n-m}C_{n-1}^{m},$$
$$C_{n}^{m}=\frac{n-m+1}{m}C_{n}^{m-1}, $$
$$C_{n}^{m}= \frac{n}{m}C_{n-1}^{m-1} \implies mC_{n}^{m}=nC_{n-1}^{m-1}, $$
$$C_{k+n+1}^{k+1}=C_{k}^{k}+C_{k+1}^{k}+C_{k+2}^{k}+\cdot\cdot\cdot+C_{k+n}^{k}.$$
二项式定理的相关概念
一般地，对于任意正整数$n$，都有$$\begin{aligned}(a+b)^{n}=C_{n}^{0}a^{n} &+C_{n}^{1}a^{n-1}b \\ &+C_{n}^{2}a^{n-2}b^{2} \\ &+\cdot\cdot\cdot \\ &+C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k} \\ &+\cdot\cdot\cdot \\ &+C_{n}^{n}b^{n}(n\in N^{*}).\end{aligned}$$这个式子所表示的定理叫作二项式定理，等号右边的多项式叫作$(a+b)^{n}$的二项展开式，其中系数$$C_{n}^{k}(k\in \{0,1,2,\cdot\cdot\cdot,n\}$$叫作二项式系数。
二项式定理的证明
由于$(a+b)^{n}$是$n$个$(a+b)$在相乘时有两种选择，即选$a$或选$b$，并且每个$(a+b)$中的$a$或$b$都选定后，才能得到展开式的一项。因此，由分步乘法计数原理可知，在合并同类项之前，$(a+b)^{n}$的展开式共有$2^{n}$项，其中每一项都是$$a^{n-k}b^{k}(k=0,1,2,\cdot\cdot\cdot,n)$$的形式。
$a^{n-k}b^{k}$出现的次数相当于从$n$个$(a+b)$中取$k$个$b$的组合数$C_{n}^{k}$，这样$(a+b)^{n}$的展开式中，$a^{n-k}b^{k}$共有$C_{n}^{k}$个，将它们合并同类项就可以得到二项式展开式。
二项展开式的通项公式
二项展开式的第$(k+1)$项$$T_{k+1}=C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}(k\in\{0,1,2,\cdot\cdot\cdot,n\})$$叫作二项展开式的通项公式，它体现了二项展开式的项数、系数、字母的次数、项的次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些指定项及其系数方面有着十分广泛的应用。
通项式的特点：
它表示二项展开式的第$(k+1)$项，该项的二项式系数是$C_{n}^{k}$，而不是$C_{n}^{k+1}$；
字母$b$的次数与组合数的上标$k$相同；
$a$与$b$的次数之和为$n$，这就是二项式的次数。
二项式系数的性质
对称性：与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等,即$$C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}.$$
增减性与最大值：当$$k < \frac{n+1}{2}$$时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值。
当$n$是偶数时，中间的一项取得最大值；
当$n$是奇数时，中间两项$C_{n}^{\frac{n-1}{2}},C_{n}^{\frac{n+1}{2}}$相等，且同时取得最大值。
各二项式系数的和：$$2^{n}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+\cdot\cdot\cdot+C_{n}^{n},$$即$(a+b)^{n}$的展开式的各个二项式系数的和等于$2^{n}.$
奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于$2^{n-1}$,即$$\begin{aligned}C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+C_{n}^{4}+\cdot\cdot\cdot&=C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+C_{n}^{5}+\cdot\cdot\cdot\\&=2^{n-1}.\end{aligned}$$
