凹性

设$f(x)$在区间$I$上连续，如果对$I$上任意两点$x_{1},x_{2}$恒有$$f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}) < \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2},$$那么称$f(x)$在$I$上的图形是(向上)$\mathbf{凹的}$(或凹弧)；

凸性

如果恒有$$f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}) > \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2},$$那么称$f(x)$在$I$上的图形是(向上)$\mathbf{凸的}$(或凸弧)。

设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内具有一阶和二阶导数，那么

一、若在$(a,b)$内$$f^{\prime\prime}(x) > 0,$$则$f(x)$在$[a,b]$上的图形是凹的。

二、若在$(a,b)$内$$f^{\prime\prime}(x) < 0,$$则$f(x)$在$[a,b]$上的图形是凸的。

不过补充一下，中国数学界关于函数凹凸性定义和国外很多定义是反的。国内教材中的凹凸，是指的函数图像形状，而不是指函数的性质。在国外，图像的凹凸与直观感受一致，却与函数的凹凸性相反。

另外，国内各不同学科教材、辅导书的关于凹凸的说法也是相反的。一般来说，可按如下方法准确说明：

1、$$f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}) < \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2},$$ 即V型，为“凸向原点”，或“下凸”（也可说上凹），（有的简称凸有的简称凹）

2、$$f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}) > \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2},$$即A型，为“凹向原点”，或“上凸”（下凹），（同样有的简称凹有的简称凸）

凸/凹向原点这种说法一目了然。上下凸的说法也没有歧义

在二维环境下，就是通常所说的平面直角坐标系中，可以通过画图直观地看出一条二维曲线是凸还是凹，当然它也对应一个解析表示形式,就是那个不等式。但是，在多维情况下，图形是画不出来的，这就没法从直观上理解“凹”和“凸“的含义了，只能通过表达式，当然n维的表达式比二维的肯定要复杂，但是，不管是从图形上直观理解还是从表达式上理解，都是描述的同一个客观事实。而且，按照函数图形来定义的凹凸和按照函数来定义的凹凸正好相反。

定义

若$f(x)$是区间$[a,b]$上的下凸函数，则对任意的$x_{1},x_{2},x_{3},\dotso ,x_{n} \in [a,b]$，有不等式：$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}f(x_{i})}{n} \geq f\bigg(\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}}{n}\bigg)$$当且仅当$x_{1}=x_{2}=x_{3}=\dotso = x_{n}$时等号成立。

加权形式为

若$f(x)$是区间$[a,b]$上的下凸函数，则对任意的$x_{1},x_{2},x_{3},\dotso ,x_{n} \in [a,b]$，且$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dotso + a_{n}=1 ,$ $a_{1},a_{2},a_{3},\dotso a_{n}$为正数，有$$f(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+ \dotso +a_{n}x_{n}) \leq a_{1}f(x_{1})+a_{2}f(x_{2})+\dotso + a_{n}f(x_{n})$$当且仅当$x_{1}=x_{2}=x_{3}=\dotso = x_{n}$时等号成立。