定义

形如$$\begin{bmatrix}c_{11} & c_{12} & \dotso & c_{1r} & c_{1r+1} & \dotso & c_{1n} \\0 & c_{22} & \dotso & c_{2r} & c_{2r+1} & \dotso & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \dotso & c_{rr} & c_{rr+1} & \dotso & c_{m} \\ 0 & 0 & \dotso & 0 & 0 & \dotso & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots &\vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \dotso &0 & 0 & \dotso & 0 \end{bmatrix}$$的矩阵称为行阶梯形矩阵，简称阶梯型矩阵。

其特点为： 一、每个阶梯只有一行； 二、元素不全为零的行（非零行）的第一个非零元素所在列的下标随着行标的增大而严格增大（列标一定不小于行标）； 三、元素全为零的行（如果有的话）必在矩阵的最下面几行。

举例

例如$$\begin{bmatrix}1 & 0 & -1 \\0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 & 1 & 2 & -1 \\0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$均为阶梯形矩阵。

在阶梯形矩阵中，若非零行的第一个非零元素全是1，且非零行的第一个元素1所在列的其余元素全为零，就称该矩阵为行最简形矩阵。

例

如矩阵$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -1 \\0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1& 2 \end{bmatrix}$$

定义

在最简形矩阵中，非零行有且只有一个非零元素且为1，则称该矩阵为标准形矩阵。

例如

矩阵$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0&0 \\0 & 1 & 0& 0 \\ 0 & 0& 1& 0 \end{bmatrix}$$

下列三种变换称为矩阵的行初等变换：

一

对调两行；

二

以非零数k乘以某一行的所有元素；

三

把某一行所有元素的k倍加到另一行对应元素上去。

将定义中的“行”换成“列”，即得到矩阵的初等列变换的定义。矩阵的初等行变换与矩阵的初等列变换，统称为矩阵的初等变换。

定理一

任一矩阵可经过有限次初等行变换化成阶梯形矩阵；

定理二

任一矩阵可经过有限次初等行变换化成行最简形矩阵；

定理三

矩阵在经过初等行变换化为最简形矩阵后，再经过初等列变换，还可以化为最简形矩阵，因此，任一矩阵可经过有限次初等变换化成标准形矩阵。

行阶梯形的结果并不是唯一的。例如，行阶梯形乘以一个标量系数仍然是行阶梯形。但是，可以证明一个矩阵的化简后的行阶梯形是唯一的。