代数余子式

在$n$阶行列式中，把$(i,j)$元$a_{ij}$所在的第$i$行和第$j$列划去后，留下来的$n-1$阶行列式叫做$(i,j)$元$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$。记$$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},$$$A_{ij}$叫做$(i,j)$元$a_{ij}$的代数余子式。

例如四阶行列式$$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &a_{13}&a_{14} \\ a_{21} & a_{22} &a_{23}&a_{24} \\ a_{31} & a_{32} &a_{33}&a_{34} \\ a_{41} & a_{42} &a_{43}&a_{44} \end{vmatrix},$$中$(3,2)$元$a_{32}$的余子式和代数余子式分别为$$M_{32}=\begin{vmatrix} a_{11} &a_{13}&a_{14} \\ a_{21} &a_{23}&a_{24} \\ a_{41} &a_{43}&a_{44} \end{vmatrix},$$$$A_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-M_{32}.$$

方阵的行列式

由$n$阶方阵$A$的元素所构成的行列式(各元素的位置不变)，称为方阵$A$的行列式，记作$$\det \ A 或 |A|.$$由$A$确定$|A|$的这个运算满足下述运算规律(设$A,B$为$n$阶方阵，$\lambda$为数):$$ |A^{T}| = A, $$ $$ |\lambda A| = \lambda^{n}|A|, $$ $$ |AB|= |A||B|.$$

伴随矩阵

行列式$|A|$的各个元素的代数余子式$A_{ij}$所构成的如下矩阵$$A^{*}=\begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} &\dotso &A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} &\dotso &A_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \dotso &A_{nn} \end{bmatrix}$$称为矩阵$A$的伴随矩阵，简称伴随阵。

$$AA^{*}=A^{*}A=|A|E.$$

伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具，伴随矩阵的一些新的性质被不断发现与研究。伴随矩阵的一些基本性质如下

性质一

矩阵$A$可逆当且仅当$A^{*}$可逆。

性质二

如果$A$可逆，则$$A^{*}=|A|A^{-1};$$

性质三

对于$A^{*}$的秩有：$$rank(A^{*})=n，rank(A)=n$$ $$rank(A^{*})=1 ，rank(A)=n-1$$ $$rank(A^{*})=0 ，rank(A) < n-1 ;$$

性质四

$$|A^{*}|=|A|^{n-1}$$

性质五

$$(kA)^{*}=k^{n-1}A^{*}$$

性质六

若$A$可逆，则$$(A^{-1})^{*}=(A^{*})^{-1};$$

性质七

$$(A^{T})^{*}=(A^{*})^{T};$$

性质八

$$(AB)^{*}=B^{*}A^{*};$$

性质九

$$AA^{*}=A^{*}A=|A|E;$$

1

当矩阵是大于等于二阶时：主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式，非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以 $x$，$y$ ， 为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始。主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况，$(-1)^{x+y}$因为 $x=y$ ,所以$(-1)^{x+y}=1$ ，一直是正数，没必要考虑主对角元素的符号问题。

2

当矩阵的阶数等于一阶时，伴随矩阵为一阶单位方阵。

3

二阶矩阵的求法口诀：主对角线元素互换，副对角线元素变号。

设$A$为$n$阶方阵，则称$n$阶方阵$$(\dotso ((A^{*}))^{*}\dotso )^{*}$$为$A$的$m$重伴随矩阵，记为：$$A^{(m^{*})}=(\dotso ((A^{*}))^{*}\dotso )^{*},$$其中括号为$m$重，特征地，$A^{(o^{*})}=A，A^{(1*)}=A^{*}。$