设函数$f(x)$在$[a,b]$上有界，在$[a,b]$中任意插入若干个分点$$a=x_{0} < x_{1} < x_{2} < \dotso < x_{n-1} < x_{n} = b,$$把区间$[a,b]$分成$n$个小区间$$[x_{0},x_{1}],[x_{1},x_{2}],\dotso , [x_{n-1},x_{n}],$$各个小区间的长度依次为$$\begin{aligned}\Delta x_{1}&=x_{1} - x_{0} , \\ \Delta x_{2} &=x_{2} - x_{1} , \\ \dotso \\ \Delta x_{n} &=x_{n} - x_{n-1}.\end{aligned}$$在每个小区间$[x_{i-1},x_{i}]$上任取一点$$\xi_{i}(x_{i-1} \leq \xi_{i} \leq x_{i}),$$作函数值$f(\xi_{i})$与小区间长度$\Delta x_{i}$的乘积$$f(\xi_{i})\Delta x_{i}(i=1,2,\dotso ,n),$$并作出和$$S=\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}.$$记$\lambda =\max \{\Delta x_{1},\Delta x_{2} ,\dotso , \Delta x_{n}\}$，如果当$\lambda \to 0$时，这和的极限总存在，且与闭区间$[a,b]$的分法及点$\xi_{i}$的取法无关，那么称这个极限$I$为函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分(简称积分)，记作$$\int_{a}^{b}f(x)dx,$$即$$\int_{a}^{b}f(x)dx=I=\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i},$$其中$f(x)$叫做$\mathbf{被积函数}$，$f(x)dx$叫做$\mathbf{被积表达式}$，$x$叫做$\mathbf{积分变量}$，$a$叫做$\mathbf{积分下限}$，$b$叫做$\mathbf{积分上限}$，$[a,b]$叫做$\mathbf{积分区间}$。

定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(t)dt=\int_{a}^{b}f(\mu)d\mu .$$

性质一

设$\alpha$与$\beta$均为常数，则$$\int_{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha \int_{a}^{b}f(x)dx+\beta \int_{a}^{b}g(x)dx.$$

性质二

设$a < c < b$，则$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx.$$

性质三

如果在区间$[a,b]$上$f(x) \equiv 1$，那么$$\int_{a}^{b}1dx=\int_{a}^{b}dx=b-a.$$

性质四

如果在区间$[a,b]$上$f(x) \geq 0$，那么$$\int_{a}^{b}f(x)dx \geq 0(a < b ).$$

推论一

如果在区间$[a,b]$上$f(x) \leq g(x)$，那么$$\int_{a}^{b}f(x)dx \leq \int_{a}^{b}g(x)dx \ \ \ (a < b).$$

推论二

$$|\int_{a}^{b}f(x)dx|\leq \int_{a}^{b}|f(x)|dx.$$

性质五

设$M$及$m$分别是函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的最大值及最小值，则$$m(b-a) \leq \int_{a}^{b}f(x)dx \leq M(b-a) (a < b).$$

性质六、代数和的积分等于积分的代数和

$$\int_a^b[f(x) \pm g(x)] d x=\int_a^b f(x) d x \pm \int_a^b g(x) d x$$

性质七、常数可以提到积分号前

$$\int_a^b k f(x) d x=k \int_a^b f(x) d x$$

性质八

当 $\mathrm{a}=\mathrm{b}$ 时, $$\int_a^b f(x) d x=0$$ 当 $\mathrm{a} > \mathrm{b}$ 时, $$\int_a^b f(x) d x=-\int_b^a f(x) d x$$

定理一

设$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上可积。

定理二

设$f(x)$在区间$[a,b]$上有界，且只有有限个间断点(除无穷间断点外)，则$f(x)$在$[a,b]$上可积。

定理一

如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，那么积分上限的函数$$\varPhi (x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$$在$[a,b]$上可导，并且它的导数$$\varPhi ^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x) \ (a \leq x \leq b).$$这个定理指出了一个重要结论：连续函数$f(x)$取变上限$x$的定积分然后求导，其结果还原为$f(x)$本身。

定理二

(原函数的存在定理)如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，那么函数$$\varPhi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$$就是$f(x)$在$[a,b]$上的一个原函数。

如果函数$F(x)$是连续函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的一个原函数，那么$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)，$$该公式就叫做牛顿(Newton)-莱布尼茨(Leibniz)公式，也叫做微积分基本公式。

该公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系。

它表明：一个联系函数在区间$[a,b]$上的定积分等于它的任一个原函数在区间$[a,b]$上的增量。

定积分的换元法

假设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，函数$x=\varphi (t)$满足条件：

（1）$\varphi(\alpha)=a,\varphi(\beta)=b$；

（2）$\varphi(t)$在$[\alpha,\beta]$(或$[\beta,\alpha]$)上具有连续导数，且其值域$R_{\varphi}=[a,b],$则有$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f[\varphi(t)]\varphi^{\prime}(t)dt.$$该公式叫做定积分的换元公式。

用$x=\varphi(t)$把原来变量$x$代换成新变量$t$时，积分限也要换成相应于新变量$t$的积分限。

求出$f[\varphi(t)]\varphi^{\prime}(t)$的一个原函数$$\varPhi(t)$$后，不必像计算不定积分那样再要把$\varPhi(t)$变换成原来变量$x$的函数，而只要把新变量$t$的上、下限分别代入$\varPhi(t)$中然后相减就可行了。

定积分的分部积分公式

依据不定积分的分部积分法，可得$$\begin{aligned}\int_{a}^{b}\mu(x)\upsilon^{\prime}(x)dx &= [\int\mu(x)\upsilon^{\prime}(x)dx]_{a}^{b} \\ &=[\mu(x)\upsilon(x)-\int\upsilon(x)\mu^{\prime}(x)dx]_{a}^{b} \\ &=[\mu(x)\upsilon(x)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}\upsilon(x)\mu^{\prime}(x)dx,\end{aligned}$$简记作$$\int_{a}^{b}\mu\upsilon^{\prime}dx=[\mu\upsilon]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}\upsilon\mu^{\prime}dx,$$$$或$$$$\int_{a}^{b}\mu d\upsilon=[\mu\upsilon]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}\upsilon d\mu.$$

$$\int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx=\frac{\pi a^{2}}{4} (a > 0).$$

设$f(x)$在$[0,1]$上连续，则有$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos x)dx,$$$$\int_{0}^{\pi}xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(\sin x)dx.$$

设$f(x)$是连续的周期函数，周期为$T$，则有$$\int_{a}^{a+T}f(x)dx=\int_{0}^{T}f(x)dx,$$$$\int_{a}^{a+nT}f(x)dx=n\int_{0}^{T}f(x)dx (n\in N).$$

如果函数$f(x)$在积分区间$[a,b]$上连续，那么在$[a,b]$上至少存在一个点$\xi$，使下式成立：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi)(b-a) \ \ \ (a \leq \xi \leq b).$$

函数奇偶性定理

设 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在关于原点的对称区间 $[-a, a]$ 上连续, 则有 $$\int_{-a}^a f(x) d x=\int_a^0[f(x)+f(-x)] d x ;$$ 于是我们可以得到以下结论: (1)若 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 为奇函数, 则 $$\int_{-a}^a f(x) d x=0;$$ (2) 若 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 为偶函数, 则 $$\int_{-a}^a f(x) d x=2 \int_a^0 f(x) d x .$$

利用函数的周期性计算定积分

如果 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是一周期为 $\mathrm{T}(\mathrm{T}>0)$ 的连续函数, $a$ 为任意实数, 则必有

(1) $$\int_0^T f(x) d x=\int_{\frac{T}{2}}^{\frac{1}{2}+T} f(x) d x=\int_a^{a+T} f(x) d x,$$即 $f(x)$ 在任意长度等于 $\mathrm{T}$ 的区间上，定积分值相等，和区间的两端点位置没有关系。 例如: $$\int_0^{2 \pi} \sin x d x=\int_{-\pi}^\pi \sin x d x=\int_0^{2 \pi} \cos x d x=\int_{-\pi}^\pi \cos x d x=0,$$正弦函 数、余弦函数在周期区间上的定积分的值为 0 .

(2) $$\int_0^{n T} f(x) d x=n \int_0^T f(x) d x$$( $\mathrm{n}$ 为整数) 例如: $$\int_0^T \cos x d x=\int_T^{2 T} \cos x d x=0,$$即余弦函数在半周期的区间上,定积分的值等于0.