如果$n$阶矩阵$A$满足$$A^{T}A=E(即A^{-1}=A^{T}),$$那么称$A$为正交矩阵，简称正交阵。
性质一
若$A$为正交阵，则$A^{-1}=A^{T}$也是正交矩阵，且$$|A|=1或(-1).$$
性质二
若$A$和$B$都是正交矩阵，则$AB$也是正交矩阵。
在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵$Q$，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为1，则称之为特殊正交矩阵。
定理一
方阵$A$正交的充要条件是$A$的行（列）向量组是单位正交向量组；
定理二
方阵$A$正交的充要条件是$A$的$n$个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基；
定理三
$A$是正交矩阵的充要条件是：$A$的行向量组两两正交且都是单位向量；
定理五
正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。
低维度构造
最简单的正交矩阵是1×1矩阵[1]和[−1]，它们可分别解释为恒等和实数线针对原点的反射。
它的正交性要求满足三个方程，在考虑第一个方程时，不丢失一般性而设$p=\cos \theta$,$q=\sin \theta$；因此要么$t=−q$,$u=p$要么$t=q$,$u=−p$。我们可以解释第一种情况为旋转$\theta$($\theta=0$是单位矩阵)，第二个解释为针对在角$\frac{\theta}{2}$的直线的反射。
旋转反射在45°的反射对换x和y；它是置换矩阵，在每列和每行带有一个单一的1(其他都是0)：单位矩阵也是置换矩阵。
反射是它自己的逆，这蕴涵了反射矩阵是对称的(等于它的转置矩阵)也是正交的。两个旋转矩阵的积是一个旋转矩阵，两个反射矩阵的积也是旋转矩阵。
更高维度构造
如果不管维度，总是有可能把正交矩阵按纯旋转与否来分类的，但是对于3×3矩阵和更高维度矩阵要比反射复杂多了。例如，表示通过原点的反演和关于z轴的旋转反演（逆时针旋转90°后针对x-y平面反射，或逆时针旋转270°后对原点反演）。旋转也变得更加复杂；它们不再由一个角来刻画，并可能影响多于一个平面子空间。尽管经常以一个轴和角来描述3×3旋转矩阵，在这个维度旋转轴的存在是偶然的性质而不适用于其他维度。但是，一般适用的基本建造板块如置换、反射、和旋转可以满足这些情况。
基本变换
正交矩阵的最基本置换是换位(transposition)，通过交换单位矩阵的两行得到。任何$n \times n$置换矩阵都可以构造为最多$n−1$次换位的积。构造自非零向量$v$的Householder反射，这里的分子是对称矩阵，而分母是v的平方量的一个数。这是在垂直于$v$的超平面上的反射(取负平行于$v$任何向量分量)。如果v是单位向量，则$Q=I−2vv$就足够了。Householder反射典型的用于同时置零一列的较低部分。任何$n\times n$正交矩阵都可以构造为最多n次这种反射的积。
Givens旋转作用于由两个坐标轴所生成的二维(平面)子空间上，按选定角度旋转。它典型的用来置零一个单一的次对角线元素(subdiagonalentry)。任何n×n的旋转矩阵都可以构造为最多$n(n−1)/2$次这种旋转的积。在$3\times 3$矩阵的情况下，三个这种旋转就足够了；并且通过固定这个序列，我们可以用经常叫做欧拉角的三个角来(尽管不唯一)描述所有$3\times 3$旋转矩阵。
雅可比旋转有同Givens旋转一样的形式，但是被用做相似变换，选择来置零$2\times 2$子矩阵的两个远离对角元素(off-diagonalentry) 。
利益
数值分析自然的利用了正交矩阵的很多数值线性代数的性质。例如，经常需要计算空间的正交基，或基的正交变更；二者都采用了正交矩阵的形式。有行列式$\pm$和所有模为1的特征值是对数值稳定性非常有利的。一个蕴涵是条件数为1(这是极小的)，所以在乘以正交矩阵的时候错误不放大。很多算法为此使用正交矩阵如Householder反射和Givens旋转。有帮助的不只是正交矩阵是可逆的，还有它的逆矩阵本质上是免花费的，只需要对换索引(下标)。
置换是很多算法成功的根本，包括有局部定支点(partialpivoting)的运算繁重的高斯消去法(这里的置换用来定支点)。但是它们很少明显作为矩阵出现；它们的特殊形式允许更有限的表示，比如n个索引的列表。
同样的，使用Householder和Givens矩阵的算法典型的使用特殊方法的乘法和存储。例如，Givens旋转只影响它所乘的矩阵的两行，替代完全的n次的矩阵乘法为更有效的n次运算。在使用这些反射和旋转向矩阵介入零的时候，腾出的空间足够存储充足的数据来重生成这个变换。
分解
一些重要的矩阵分解(Golub&VanLoan,1996)涉及到了正交矩阵，包括:
1、$QR$分解$$M=QR$$ $Q$为正交矩阵，$R$为上三角矩阵。
2、奇异值分解$$M=U\Sigma V$$$U,V$为正交矩阵，$\Sigma$为非负对角矩阵。
3、谱分解$$A=Q\Lambda Q$$ $S$为对称矩阵，$Q$为正交矩阵，$\Lambda$为对角矩阵。
4、极分解$$M=QS,$$ $Q$为正交矩阵，$S$为对称非负确定矩阵。
