设$A$为$n$阶方阵，如果满足$$A^{T}=A,$$即$$a_{ij}=a_{ji}(i,j =1,2, \dotso ,n),$$那么$A$称为$\mathbf{对称矩阵}$。
对称矩阵的特点是：它的元素以对角线为对称轴对应相等。
$A$为$\mathbf{方形矩阵}$是$A$为对称矩阵的$\mathbf{必要条件}$。
设列矩阵$X=(x_{1},x_{2}, \dotso ,x_{n})^{n}$满足$$X^{T}X=1,$$$E$为$n$阶单位矩阵,则$$H=E-2XX^{T}$$$H$是对称矩阵且$HH^{T}=E$.
性质一
对于任何方形矩阵$X$，$X+X^{T}$是对称矩阵。
性质四
两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。
性质五
用$<,>$表示$R^{n}$ 上的内积。$n\times n$的实矩阵$A$是对称的，当且仅当对于所有$X, Y \in R^{n}$， $$<Ax ,y>=<x,Ay>.$$
性质六
任何方形矩阵$X$，如果它的元素属于一个特征值不为2的域（例如实数），可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和：$$X=\frac{1}{2}(X+X^{T})+\frac{1}{2}(X-X^{T})$$
性质七
每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。
性质八
一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。
性质九
如果$X$是对称矩阵，那么对于任意的矩阵$A$，$$AXA^{T}$$也是对称矩阵。
性质十
$n$阶实对称矩阵，是$n$维欧式空间$V(R)$的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。
性质二
设$\lambda_{1},\lambda_{2}$是对称矩阵$A$的两个特征值，$p_{1},p_{2}$是对应的特征向量,$$若\lambda_{1} \neq \lambda_{2},则p_{1}与p_{2}正交.$$
定理
设$A$为$n$阶对称矩阵，则必有正交矩阵$P$,使$$P^{-1}AP=P^{T}AP=\Lambda,$$其中$\Lambda$是以$A$的$n$个特征值为对角元的对角矩阵。
推论
设$A$为$n$阶对称矩阵，$\lambda$是$A$的特征方程的$k$重根，则矩阵$A-\lambda E$的秩$$R(A-\lambda E)=n-k,$$从而对应特征值$\lambda$恰有$k$个线性无关的特征向量。
