由偏导数的定义，二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变化率。根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得$$f(x+\Delta x,y)-f(x,y) \approx f_{x}(x,y)\Delta x,$$ $$f(x,y+\Delta y)-f(x,y) \approx f_{y}(x,y)\Delta y,$$上面两式的左端分别叫做二元函数对$x$和对$y$的偏增量，而右端分别叫做二元函数对$x$和对$y$的偏微分。

设函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的某邻域内有定义，如果函数在点$(x,y)$的全增量$$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$$可表示为$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y + o(\rho),$$其中$A$和$B$不依赖于$\Delta x$和$\Delta y$而仅与$x$和$y$有关，$$\rho=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}},$$那么称函数$z=f(x)$在点$(x,y)$可微分，而$$A\Delta x+B\Delta y$$称为函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全微分，记作$dz$，即$$dz=A\Delta x +B\Delta y.$$

如果函数在区域$D$内各点处都可微分，那么称这函数在$D$内可微分。

充分条件

如果函数$z=f(x,y)$的偏导数$$\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$$在点$(x,y)$连续，那么函数在该点可微分。

必要条件

如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$可微分，那么该函数在点$(x,y)$的偏导数$$\frac{\partial z}{\partial x}与\frac{\partial z}{\partial y}$$必定存在，且函数$z=f(x,y)$的全微分为$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x +\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y.$$

各偏导数的存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件。

设函数$z=f(\mu , \upsilon)$具有连续偏导数，则有全微分$$dz=\frac{\partial z}{\partial \mu}d\mu+\frac{\partial z}{\partial \upsilon}d\upsilon .$$无论$\mu$和$\upsilon$是自变量还是中间变量，函数$$z=f(\mu,\upsilon)$$的全微分形式是一样的。这个性质叫做全微分形式的不变性。