杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡（1623----1662）是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合
图一 杨辉三角举例
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前$n$行共$[(1+n)n] / 2$ 个数。
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第n行的m个数可表示为$ C_{n-1}^{m-1}$，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。
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第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ，为组合数性质之一。
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每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。
即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即 $C_{n+1}^{i}=C_{n}^{i}+C_{n}^{i-1}$。
8
$(a+b)^{n}$的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第$(n+1)$行中的每一项。
9
将第$2n+1$行第1个数，
跟第2n+2行第3个数、
第2n+3行第5个数……连成一线，
这些数的和是第4n+1个斐波那契数；
将第2n行第2个数(n>1)，
跟第2n-1行第4个数、
第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。
10
将第n行的数字分别乘以$10^{(m-1)}$，其中m为该数所在的列，再将各项相加的和为$11^{(n-1)}$。
$11^0=1，$
$11^1=1\times 10^0+1\times 10^1=11，$
$11^2=1\times 10^0+2\times 10^1+1\times 10^2=121，$
$11^3=1\times 10^0+3\times 10^1+3\times 10^2+1\times 10^3=1331，$
$11^4=1\times 10^0+4\times 10^1+6\times 10^2+4\times 10^3+1\times 10^4=14641，$
$11^5=1\times 10^0+5\times 10^1+10\times 10^2+10\times 10^3+5\times 10^4+1\times 10^5=161051。$
11
第n行数字的和为$2^{(n-1)}$。
$1=2^{(1-1)}，$
$1+1=2^{(2-1)}，$
$1+2+1=2^{(3-1)}，$
$1+3+3+1=2^{(4-1)}，$
$1+4+6+4+1=2^{(5-1)}，$
$1+5+10+10+5+1=2^{(6-1)}。$
12
斜线上数字的和等于其向左（从左上方到右下方的斜线）或向右拐弯（从右上方到左下方的斜线），拐角上的数字。
1+1=2，
1+1+1=3，
1+1+1+1=4，
1+2=3，
1+2+3=6，
1+2+3+4=10，
1+3=4，
1+3+6=10，
1+4=5。
13
将各行数字左对齐，其右上到左下对角线数字的和等于斐波那契数列的数字。
1，
1，
1+1=2，
2+1=3，
1+3+1=5，
3+4+1=8，
1+6+5+1=13，
4+10+6+1=21，
1+10+15+7+1=34，
5+20+21+8+1=55。
性质5和性质7是杨辉三角的基本性质，是研究杨辉三角其他规律的基础。
与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。例如在杨辉三角中，第3行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数（性质 8），第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数，即$$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$$以此类推。
又因为性质5：第n行的m个数可表示为$C_{n-1}^{m-1}$，即为从$n-1$个不同元素中取$m-1$个元素的组合数。因此可得出二项式定理的公式为：$$(x+a)^{n}=\begin{pmatrix}n \\ 0 \end{pmatrix} x^{n}a^{0}+\begin{pmatrix}n \\ 1 \end{pmatrix}x^{n-1}a^{1} + \cdots + \begin{pmatrix}n \\ n \end{pmatrix} \times x^{0}a^{n} = \sum\limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}x^{k}a^{n-k}$$
因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。
由1开始，正整数在杨辉三角形出现的次数为∞,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... 。
最小而又大于1的数在贾宪三角形至少出现n次的数为2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ...
除了1之外，所有正整数都出现有限次，只有2出现刚好一次，6,20,70等出现三次；
出现两次和四次的数很多，还未能找到出现刚好五次的数。
120,210,1540等出现刚好六次。
因为丢番图方程$\begin{pmatrix}n+1 \\ k+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n \\ k+2 \end{pmatrix}$有无穷个解，所以出现至少六次的数有无穷个多。解为$n=F_{2i+2}F_{2i+3}-1, k=F_{2i}F_{2i+3}-1$，其中$F_{n}$表示第$n$个斐波那契数（$F_{1}=F_{2}=1$）。
3003是第一个出现八次的数。
