一般地，形如$$y=ax^{2}+bx+c(a,b,c是常数,a\neq0)$$的函数，叫做二次函数。其中$x$是自变量，$a,b,c$分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

顶点坐标

$$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^{2}}{4a})$$

交点式(仅限于与x轴有交点的抛物线)

$$y=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$与x轴的交点坐标是$A(x_{1},0)$和$B(x_{2},0)$。

顶点式

$$y=a(x-h)^2+k$$ 此时顶点为 $(\mathrm{h}, \mathrm{k})$

$k=\frac{4 a c-b^2}{4 a}$ 时，对应顶点为 $(h, k)$ ，其中, $h=-\frac{b}{2 a}$ ；

注意

“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别

1

二次函数的图像是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图 形。对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2 a}$ 。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点 $\mathrm{P}$ 。特别地，当 $\mathrm{b}=0$ 时，抛物线的对称轴是 $\mathrm{y}$ 轴 (即直线 $x=0)$ 。

2

抛物线有一个顶点 $\mathrm{P}$ ，坐标为 $\mathrm{P}\left(-\frac{b}{2 a}, \frac{4 a c-b^2}{4 a}\right)$ 。 当 $-\frac{b}{2 a}=0$ 时， $\mathrm{P}$ 在y轴上； 当 $\Delta=b^2-4 a c=0$ 时， $\mathrm{P}$ 在x 轴上。

3

二次项系数 $a$ 决定抛物线的开口方向和大小。 当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上； 当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下 $|a|$ 越小，则抛物线 的开口越大； $|a|$ 越大，则抛物线的开口越小 $a b < 0$ ) (可巧记为：左同右异)，对称轴在 $y$ 轴右侧。

4

一次项系数$b$和二次项系数$a$共同决定对称轴的位置。当$a$与$b$同号时（即$ab > 0$），对称轴在y轴左侧； 当$a$与$b$异号时（即$ab < 0$）（可巧记为：左同右异），对称轴在y轴右侧。

5

常数项c决定抛物线与 $y$ 轴交点。抛物线与 $\mathrm{y}$ 轴交于 $(0, \mathrm{c})$

6

抛物线与x轴交点个数: $\Delta=b^2-4 a c > 0$ 时，抛物线与x轴有2个交点。 $\Delta=b^2-4 a c=0$ 时，抛物线与x轴有1个 交点 当 $\Delta=b^2-4 a c < 0$ 时，抛物线与 $\times$ 轴没有交点。

7

当 $a > 0$ 时，函数在$$x=-\frac{b}{2 a}$$处取得最小值 $f\left(-\frac{b}{2 a}\right)=\frac{4 a c-b^2}{4 a}$ ；在 $\left(-\infty,-\frac{b}{2 a}\right]$ 上是减函数，在 $\left[-\frac{b}{2 a},+\infty\right)$ 上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是 $\left[\frac{4 a c-b^2}{4 a},+\infty\right)$ 。 当 $a < 0$ 时，函数在 $$x=-\frac{b}{2 a}$$处取得最大值 $f\left(-\frac{b}{2 a}\right)=\frac{4 a c-b^2}{4 a}$ ；在 $\left(-\infty,-\frac{b}{2 a}\right]$ 上是增函数，在 $\left[-\frac{b}{2 a},+\infty\right)$ 上是减函数；抛物线的开口向下；函数的值域是 $\left(-\infty, \frac{4 a c-b^2}{4 a}\right]$ 。 当 $b=0$ 时，抛物线的对称轴是 $y$ 轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为 $y=a x^2+c(a \neq 0)$ 。

8

定义域： $R$

9、值域

当 $\mathrm{a} > 0$ 时，值域是 $\left[\frac{4 a c-b^2}{4 a},+\infty\right)$ ； 当 $\mathrm{a} < 0$ 时，值域是 $\left(-\infty, \frac{4 a c-b^2}{4 a}\right]$ 。

10、奇偶性

当 $b=0$ 时，此函数是偶函数；当 $b$ 不等于0时，此函数是非奇非偶函数。

11、周期性

无

二次函数的图像都是抛物线，它们的开口向上或向下。一般地，二次函数$$y=ax^{2}+bx+c$$的图像叫做抛物线.

二次函数$y=ax^{2}$的图像和性质如表所示。

与a,b,c有关的代数式符号的判断

在二次函数$y=ax^{2}+bx+c$中， $a$的正负看抛物线开口方向，开口向上则$a > 0$，开口向下则$a < 0$. $c$的正负看抛物线与$y$轴的交点的位置。当抛物线与$y$轴相交于正半轴时，$$c> 0.$$当抛物线与$y$轴相交于负半轴时，$$c< 0.$$当抛物线过原点时，$$c=0.$$

$b^{2}-4ac$的正负看抛物线与$x$轴的交点情况

当抛物线与$x$轴有两个公共点时，$$b^{2}-4ac > 0.$$

当抛物线与$x$轴没有公共点时，$$b^{2}-4ac < 0.$$

当抛物线与$x$轴只有一个公共点时，$$b^{2}-4ac=0.$$

$a+b+c$的正负看函数在$x=1$时函数值的情况；$a-b+c$的正负看函数在$x=-1$时函数值的情况。

$4a+2b+c,4a-2b+c$的正负分别看函数在$x=2,x=-2$时函数值的情况。

$2a+b,2a-b$的正负由$-\dfrac{b}{2a}$与1和$-1$的大小决定。

求二次函数的解析式$$y=ax^{2}+bx+c,$$需求出$a,b,c$的值。有已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于$a,b,c$的方程组，求出$a,b,c$就可以写出二次函数解析式。常用的方法有

常用的设法

一、一般式：$$y=ax^{2}+bx+c(a\neq0);$$

二、顶点式：$$y=a(x-h)^{2}+k(a\neq0),$$其中$(h,k)$为顶点坐标；

三、交点式：$$y=a(x-x_{1})(x-x_{2})(a\neq0),$$其中$x_{1},x_{2}$为抛物线与$x$轴的两个交点的横坐标。

如果抛物线$$y=ax^{2}+bx+c$$与$x$轴公共点，公共点的横坐标是$x_{0}$时，函数值是0，因此$x=x_{0}$是方程$ax^{2}+bx+c=0$的一个根。

二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图像与$x$轴的位置关系有三种：$$\begin{aligned}&没有公共点；\\&有一个公共点；\\&有两个公共点。\end{aligned}$$

这对应着一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$的根有三种情况：$$\begin{aligned}&没有实数根；\\&有两个相等的实数根；\\&有两个不等的实数根。\end{aligned}$$具体如表所示。

若一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$的两根为$x_{1},x_{2}(x_{1}< x_{2})$，则抛物线$y=ax^{2}+bx+c$与$x$轴的交点为$$(x_{1},0),(x_{2},0),$$对称轴为直线$$x=\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}.$$若$a> 0$，当$x < x_{1}$或$x > x_{2}$时，$y> 0;$ 当$x_{1}< x< x_{2}$时，$y< 0.$ 若$a< 0$，当$x < x_{1}$或$x > x_{2}$时，$y < 0;$ 当$x_{1} < x < x_{2}$时，$y > 0.$

如果抛物线$y=ax^{2}+bx+c$与$x$轴交于$M(x_{1},0),N(x_{2},0)$，则$$MN=\dfrac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{|a|}.$$