平行线的定义
平行线的定义如图所示：
平行线的定义有3个特征：一是在同一平面内；二是两条直线；三是不相交。三者缺一不可。
同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行
平行公理
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理的推论
如果两条直线都与第三条线平行，那么这两条直线也相互平行。
判定方法1
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单说成：$$同位角相等，两直线平行。$$
判定方法2
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简单说成：$$内错角相等，两直线平行。$$
判定方法3
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简单说成：$$同旁内角互补，两直线平行。$$
基本图形如图所示，应用格式如下
$$\begin{aligned}&如果∠ 1=∠ 2，那么l_{1}//l_{2};\\&如果∠ 3=∠ 2，那么l_{1}//l_{2};\\&如果∠ 2+∠ 4=180^{\circ}，那么l_{1}//l_{2}.\end{aligned}$$
在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。
一“落”：把三角尺一边落在已知直线上。
二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边。
三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点。
四“画”：沿三角尺过已知点的边画直线。
性质一、
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，简单说成：$$两直线平行，同位角相等。$$
基本图形如图所示，应用格式如下：$$\begin{aligned}因为AB&//CD，所以∠ 1=∠2.\\因为AB&//CD，所以∠ 1=∠ 3.\\因为AB&//CD，所以∠ 1+∠4=180^{\circ}.\end{aligned}$$
性质二、
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，简单说成：$$两直线平行，内错角相等。$$
性质三、
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单说成：$$两直线平行，同旁内角互补。$$
命题
判断一件事物的语句，叫做命题。
命题由题设和结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，数学中的命题常可以写成“如果$\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot$那么$\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot$”或“若$\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot$则$\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot$”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的是部分结论。
命题必须是一个完整的语句，它必须对事情作出肯定或否定的判断。
对于题设和结论不明显的命题，需先把命题改写为“如果$\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot$那么$\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot$”的形式再进行判断。
真命题、假命题
命题包括两种：真命题（正确的命题）；假命题（错误的命题）。
如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。
题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。
判断一个命题是真命题，通常是由已知条件出发，经过一步步的推理，最后推出结论正确。
要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例（具备命题的条件，但不具备命题的结论的例子称为反例）即可。
定理与证明
定理
经过推理证实得到的真命题叫做定理。定理都是真命题，而真命题不是一定是定理。如“如果$∠ 1=∠ 2$,$∠2=∠ 3$，那么$∠ 1=∠ 3$”，它不是一个真命题。
证明
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
在欧氏几何中，在两条平行线中做一条直线$AB$，以直线$AB$为半径以逆时针方向做圆，然后以直线$AB$为半径以顺时针方向再做一个圆，从两个圆的交点做垂线$CD$垂直于直线$AB$，若$CD$与$AB$的角的角度是90度，则说明两条平行线不会相交。
但欧几里得不敢思考当两条平行线无限长时的情况.....
于是包括罗素、黎曼在内的科学家假设当两条平行线无限长时，他们会在无穷远处相交。后来，非欧几何和黎曼空间就诞生了，该成果给了爱因斯坦很大的启发．
平行线公理就是区分欧氏几何与非欧几何的一个重要区别。
