在几何学中，双叶双曲面（有时称为旋转双曲面、椭圆双曲面或圆形双曲面）是通过围绕其主轴旋转双曲线而产生的表面。双曲面是可以通过使用方向定标使其变形而从旋转抛物面获得的表面。
双曲面是二次曲面，其可以被定义为三个变量中的二维多项式的点的集合的表面。 在二次曲面中，双曲面的特征在于不仅具有对称中心，而且让平面和其相交还能形成锥体、柱体等。 双曲面还具有三对垂直对称轴和三对垂直对称平面。
给定双曲面，如果选择轴为双曲面对称轴的笛卡尔坐标系，并且原点是双曲面的对称中心，则双叶双曲可以由以下方程定义：$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1$$
它具有两片双曲面，称为双叶双曲面。 表面有两个连接的部件，每个点都有正高斯曲率。 因此，在这个意义上，表面是凸的，每个点的切线平面仅在这一点上相交。
图一 双叶双曲面
可以定义双曲面的笛卡尔坐标，类似于球面坐标，保持方位角$\theta \in [0,2π)$，但将倾斜度$v$变为双曲线三角函数:
双叶双曲面：$$\begin{cases} x=a\sinh \upsilon \cos \theta \\ y = b \sinh \upsilon \sin \theta \\ z=\pm c\cosh \upsilon \end{cases}$$
双叶双曲面不包含线。 对于平面截面的讨论可以用两个方程式的双曲面：$$H_{2}: x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1$$其可以通过围绕其一个轴线（切割双曲线的）的旋转双曲线产生.
（1）斜率小于1的平面（1是生成双曲线的渐近线的斜率）与$H_{2}$相交或者是椭圆或者是一个点或者不相交；
（2）包含原点的斜率等于1的平面（双曲面的中点）与$H_{2}$不相交；
（3）不包含原点的斜率等于1的平面与$H_{2}$相交成抛物线；
（4）斜率大于1的平面$H_{2}$相交成双曲线。
双曲面的方程：$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1$$
（1）关于原点对称；
（2）关于坐标平面对称；
（3）在a = b（旋转双曲面）的情况下，与z轴旋转对称并对称于包含z轴的任何平面。
双曲面的曲率
双叶双曲面的高斯曲率为正。 尽管它具有正曲率，但是具有另一适当选择的度量的双叶双曲面也可以用作双曲线几何的模型。
